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제시문 (가)의 ‘(중략)’ 이후에 평면을 한 가지 정다각형으로만 채우는 경우 정육각형이 가장 효율적임을 확인했다고 하고 있다. ‘(중략)’에서 그 이유를 설명하고 있을 것이다. (중략)의 내용을 유추해서 간략하게 설명해 보시오.

같은 둘레 길이로 닫힌곡선을 만들어서 일정한 넓이를 둘러쌀 때 안의 넓이가 가장 넓은 것은 원이다. 이 명제는 넓이가 같은 닫힌곡선을 만들 때 둘레가 가장 작은 것은 원이라고 해도 같은 뜻이다. 이 사실은 등주부등식(isoperimetric inequality)

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이라는 형태로 알려져 있다. 여기서 A는 닫힌곡선 안의 넓이, L은 넓이가 A인 원둘레이다. 이는 단일한 폐곡선으로 원보다 평면활용에 대한 효율성이 더 좋은 형태는 없다는 것을 의미한다. 그리고 정다각형은 원에 가까울수록, 즉 변의 길이가 많을수록 같은 둘레라도 안의 넓이가 더 넓으며, 둘레가 같은 다각형 중에서는 정다각형이 넓이가 가장 넓다.

(중략)

한 가지 정다각형만으로 평면을 채우는 경우는 정육각형이 가장 효율적임을 확인했는데, 2가지 이상의 평면도형으로 평면을 채우는 다른 방법과도 비교해서 정육각형이 가장 효율적인가는 대부분 수학자들이 긍정적으로 생각했으나 오랜 기간 동안 증명은 되지 못하고 미해결로 남아 있었다.

평면도형으로 평면이나 공간을 빈틈없이 채우는 방법을 타일링(tiling) 또는 테셀레이션(tessellation)이라고 해서 기하학의 한 과제로 취급하는데, 정육각형이 가장 효율적이라는 것은 정육각형 타일링이 도형의 넓이에 대한 둘레의 비율이 가장 낮다는 것과 같다. 물론 평면 전체를 채울 때 넓이는 무한이 되므로 비율은 유한 개 조각을 이어 붙였을 때 (둘레의 길이)/(넓이)의 극한을 구함으로써 생각한다. 이 문제는 벌집 모양이 육각형인 것과 연관 지어서 육각형 벌집 추측(Hexagonal Honeycomb Conjecture)이라는 이름으로 불린다. 육각형 벌집 추측은 지난 1999년 6월 미시건 대학교 교수 토머스 헤일즈(Thomas Hales)에 증명되었다. 헤일즈는 이전 해인 1998년 9월 부피가 같은 공을 쌓아올릴 때 일상적으로 공을 쌓는 방법(공 4개를 정사각형으로 놓고, 그 사이에 1개를 올리는 방식)이 가장 효율적이라는 케플러 추측(Kepler Conjecture)을 컴퓨터를 이용해 증명한 수학자로 2001년 이후로는 피츠버그 대학교 멜론 석좌교수(Mellon Professor)로 재직 중이다.

/강지훈(1318논술연구소 수리연구원)